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浅谈线段树(Segment Tree)

January 6, 2019 • Read: 934 • 算法

线段树的概念与性质

线段树首先是一棵树,而且是二叉树。树上的每个节点对应于一个区间[a,b],a,b通常为整数。同一层的节点所代表的区间,互相不重叠。并且同一层的区间加起来是连续的区间,叶子节点的区间是单位长度1,无法再分

例如下图表示的是区间[1,9]的线段树

从图上可以看出线段树具有下面几个性质:

  • 每个区间的长度是区间内整数的个数
  • 叶子节点长度为1,不能再分
  • 若一个节点对应的区间是[a,b],则其子节点对应的区间分别是[a,(a+b)/2]和[((a+b)/2)+1,b](除法去尾取整)
  • 线段树的平分构造实际上是利用二分的方法,若根节点对应的区间是[a,b],那么他的深度为$log_2(b-a+1)+1$(向上取整)
  • 叶子节点的数目和根节点表示的区间长度相同
  • 线段树节点要么0度,要么2度,因此若叶子节点数目为N,则线段树总节点数目为2N-1
  • 线段树上,任意一个区间被分解后得到的“终止节点”数目都是logn量级
  • 线段树上更新叶子节点和进行区间分解时间复杂度都是O(logn)的

以上结论为线段树能在O(logn)的时间内完成插入、更新、查找、统计数据提供了理论依据

线段树的构建

伪代码

function 以节点idx为根结点,idx对应区间为[l,r]
    对节点idx初始化
    if(l != r)
        以idx的左孩子为根建树,区间为[l,(l+r)>>1]
        以idx的右孩子为根建树,区间为[((l+r)>>1)+1,r]

建树的时间复杂度是O(n),n为根节点对应的区间长度

线段树的基本用途

线段树适用于和区间统计有关的问题。比如某些数据可以按区间进行划分,按区间动态进行修改,而且还需要按区间多次查询,那么使用线段树可以达到较快的速度

线段树应用举例

原题链接:HDU1166

给你一个数列$A_1A_2...A_n$,并且多次进行下列两个操作:

  1. 对数列里面的某个数进行加减
  2. 询问这个序列里面任意一个连续的子序列$A_iA_{i+1}...A_j$的和是多少

构建一棵线段树,[1,n]就是根节点对应的区间,在每个节点记录该节点对应的区间内的和sum

对于操作1,因为序列里面$A_i$最多只会被线段树的logn个节点覆盖。只要求对线段树覆盖的$A_i$所在节点的区间进行操作,因此时间复杂度是O(logn)

对于操作2,同样只需要找到区间覆盖的“终止”节点,然后把“终止”节点的sum累加起来,因为这些节点的数量是logn的,所以这一步的复杂度也是O(logn)

走到节点[l,r]时,如果要查询的区间就是[l,r],那么直接返回该节点的sum,并累加到总和上;如果不是,则取mid = (l+r) >> 1,然后看要查询的区间与[l,mid]或[mid+1,r]哪个有交集,就进入哪个区间进行进一步查询

用线段树解题,关键是要想清楚每个节点要存哪些信息。先建树,然后插入数据,最后更新、查询

每个节点可表示为一个结构体

class Node {
    int l, r, sum;
}

线段树一般可以由左右指针或数组存储,根节点下标为0,假设线段树某节点为i,则:

  • 左子节点下标为(i << 1) + 1
  • 右子节点下表为(i << 1) + 2

如果根节点区间为[1,n]

  • 使用左右节点指针,则数组需要有2n-1个元素
  • 不适用左右节点指针,则数组需要有$2*2^{log_2n}-1$个元素。由于该值小于等于4n-1,因此实际运用时常开4n大小的数组即可

构造初始线段树由根节点一次往下递归构造,代码如下

static void make(int l, int r, int idx) { // l为左端点,r为右端点,idx为数组下标
    n[idx].l = l;
    n[idx].r = r;
    if (l == r) //已经是叶节点了
        n[idx].sum = t[l]; //也可以是t[r]
    else {
        make(l,(l + r) >> 1,(idx << 1) + 1); //递归构造左子树
        make(((l + r) >> 1) + 1, r, (idx << 1) + 2); //递归构造右子树
        n[idx].sum = n[(idx << 1) + 1].sum + n[(idx << 1) + 2].sum;
        //父节点值等于子节点值之和,线段树分成两段
    }
}

t数组存放输入的初始值。当总数为n时,执行make(1,n,0),输入样例得到的额线段树如下图所示

当第idx个营地增加j个人时,从根节点n[0]开始,不断往下递归更改人数,即只要包含改点idx的线段都增加相应的人数j,代码如下

static void add(int i, int j, int idx) { // 第i个营地增加j个人
    // 从根节点不断往下更改,只要包含点i的线段都增加数量j
    n[idx].sum += j;
    if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止
        return;
    if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) // 如果i在线段左边
        add(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点
    else // 如果i在线段右边
        add(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点
}

同理,当第i个营地减少j个人时,代码如下

static void sub(int i, int j, int idx) { // 第i个营地减少j个人
    // 从根节点不断往下更改,只要包含点i的线段都减少数量j
    n[idx].sum -= j;
    if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止
        return;
    if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) //如果i在线段左边
        sub(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点
    else
        sub(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点
}

询问从[l,r]区间内的营地人数代码如下

static void query(int l, int r, int idx) { // 初始idx为0,即从根节点开始查找
    if (l <= n[idx].l && r >= n[idx].r)
        SUM += n[idx].sum;
    else {
        int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;
        if (r <= mid) // 要查询的区间在左边
            query(l, r, (idx << 1) + 1);
        else if (l > mid) // 要查询的区间在右边
            query(l, r, (idx << 1) + 2);
        else { // 要查询的区间在中间,分段查询,左右都查
            query(l, r, (idx << 1) + 1);
            query(l, r, (idx << 1) + 2);
        }
    }
}

这段代码可以这么理解,假设要查询的区间为[l,r],当前走到的节点对应的区间是[n[idx].l,n[idx].r],如果$[n[idx].l,n[idx].r]\in [l,r]$,则将当前区间的信息记录下来,例如求区间和,就将当前区间和的信息累加到SUM中;如果要查询区间的右端点r<=当前区间的中点,说明需要查询的区间就在左子树里;反之,如果要查询区间的左端点l>当前区间的终点,说明要查询的区间就在右子树里;如果上面两种情况都不满足,说明左右子树均有需要的信息,左右子树都要查

完整代码如下

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static Node[] n;
    static int[] t;
    static int SUM;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int T = cin.nextInt();
        for (int p = 1; p <= T; p++) {
            int tmp = 0;
            int N = cin.nextInt();
            n = new Node[4 * N];
            t = new int[N + 1];
            for (int i = 1; i <= N; i++)
                t[i] = cin.nextInt();
            make(1, N, 0);
            while (true) {
                String str = cin.next();
                if ("End".equals(str))
                    break;
                int i = cin.nextInt();
                int j = cin.nextInt();
                if ("Query".equals(str)) {
                    SUM = 0;
                    if (tmp == 0) {
                        System.out.println("Case " + p + ":");
                        tmp++;
                    }
                    query(i, j, 0);
                    System.out.println(SUM);
                } else if ("Add".equals(str))
                    add(i, j, 0);
                else // Sub
                    sub(i, j, 0);
            }
        }
    }

    static void make(int l, int r, int idx) { // l为左端点,r为右端点,idx为数组下标
        n[idx] = new Node();
        n[idx].l = l;
        n[idx].r = r;
        if (l == r) // 已经是叶节点了
            n[idx].sum = t[l]; // 也可以是t[r]
        else {
            make(l, (l + r) >> 1, (idx << 1) + 1); // 递归构造左子树
            make(((l + r) >> 1) + 1, r, (idx << 1) + 2); // 递归构造右子树
            n[idx].sum = n[(idx << 1) + 1].sum + n[(idx << 1) + 2].sum;
            // 父节点值等于子节点值之和,线段树分成两段
        }
    }

    static void add(int i, int j, int idx) { // 第i个营地增加j个人
        // 从根节点不断往下更改,只要包含点i的线段都增加数量j
        n[idx].sum += j;
        if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止
            return;
        if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) // 如果i在线段左边
            add(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点
        else // 如果i在线段右边
            add(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点
    }

    static void sub(int i, int j, int idx) { // 第i个营地减少j个人
        // 从根节点不断往下更改,只要包含点i的线段都减少数量j
        n[idx].sum -= j;
        if (n[idx].l == i && n[idx].r == i) // 如果找到i的叶子节点则停止
            return;
        if (i <= ((n[idx].l + n[idx].r) >> 1)) // 如果i在线段左边
            sub(i, j, (idx << 1) + 1); // 递归进入左子节点
        else
            sub(i, j, (idx << 1) + 2); // 递归进入右子节点
    }

    static void query(int l, int r, int idx) { // 初始idx为0,即从根节点开始查找
        if (l <= n[idx].l && r >= n[idx].r)
            SUM += n[idx].sum;
        else {
            int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;
            if (r <= mid) // 要查询的区间在左边
                query(l, r, (idx << 1) + 1);
            else if (l > mid) // 要查询的区间在右边
                query(l, r, (idx << 1) + 2);
            else { // 要查询的区间在中间,分段查询,左右都查
                query(l, r, (idx << 1) + 1);
                query(l, r, (idx << 1) + 2);
            }
        }
    }
}

class Node {
    int l, r, sum;
}

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最后编辑于: January 13, 2019
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